Question

关于圆与直线相交的高一数学题

已知圆c :x^2+y^2-2x+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线m，使以m被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，

Answer 1

设直线方程是y=x+b
代入方程可得
2x^2+2(b+1)x+(b^2+4b-4)=0
设A，B的坐标是（x1,y1）(x2,y2)
x1+x2=-(b+1)
x1x2=(b^2+4b-4)/2
以AB为直径的圆过原点
那么AO垂直于BO
向量AO=(x1,y1),向量BO=(x2,y2),
x1x2+y1y2=0
x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b^2=0
(b^2+4b-4)-b(b+1)+b^2=0
b^2+3b-4=0
b=1或b=-4
代入方程2x^2+2(b+1)x+(b^2+4b-4)=0验证都有两实根
所以直线方程是y=x+1，y=x-4