Question

如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离

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Answer 1

证明：过点C作CH⊥AB于H，过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N
∵正方形ACDE
∴AC＝AE，∠CAE＝90
∴∠EAM+∠CAB＝180-∠CAE＝90
∵CH⊥AB，EM⊥AB
∴∠AME＝∠AHC＝90
∴∠ACH+∠CAB＝90
∴∠ACH＝∠EAM
∴△AEM≌△CAH （AAS）
∴EM＝AH
同理可证：△BFN≌△CBH
∴FN＝BH
∴EM+FN＝AH+BH＝AB
又∵PQ⊥AB，EM⊥AB、FN⊥AB
∴FN∥PQ∥EM
∵P是EF的中点
∴PQ是梯形FNME的中位线
∴PQ＝（EM+FN）/2＝AB/2

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追问

为什么说P是EF的中点后就可以说PQ是梯形FNME的中位线

追答

FN∥EM，则梯形FNME

因P是EF的中点，FN∥PQ

所以，PQ是梯形的中位线