Question

已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数，在[0，1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1

已知函数f(x)是定义[-1,1]上的奇函数，在[0，1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1
(1)求函数f(x)的解析式 （2）判断f(x)在[-1，1]上的单调性
(3)解析式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0

Answer 1

答：
（1）-1<=x<=0时，0<=-x<=1
所以：f(-x)=2^(-x)+ln(1-x)-1=-f(x)
所以：f(x)=-1/2^x-ln(1-x)+1
所以：
0<=x<=1时，f(x)=2^x+ln(1+x)-1
-1<=x<=0时，f(x)=-1/2^x-ln(1-x)+1

（2）因为：2^x和ln(1+x)在定义域内都是增函数
所以：f(x)=2^x+ln(1+x)-1在定义域内也是增函数。
因为：f(x)是奇函数，原点两侧的单调性相同
所以：f(x)是单调递增函数。

（3）f(2x+1)+f(1-x²)>=0
f(2x+1)>=-f(1-x²)=f(x²-1)
因为：f(x)是单调增函数，也是连续函数
所以：-1<=x²-1<=2x+1<=1
解得：1-√3<=x<=0

Answer 2

1、(1)解：∵在[0,1]上f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1
令﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1
∴f（﹣x）=2^（﹣x）＋ln(﹣x＋1)－1...........①
又f（x）为奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x).........②
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]
...........{ ﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]
∴f(x)={ 2^x＋ln(x＋1)－1 , x∈[0,1]
........................................................................................................
(2)易知y=2^x, y=ln(x＋1)在区间【0，1】上均为增函数。
∴f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1在区间【0，1】上也为增函数。
又由奇函数在对称区间的单调性相同知，
∴函数f(x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1在【﹣1,0】上也为增函数。
即：函数f(x在【﹣1,1】上为增函数。
......................................................................................................
补充：
2、解：∵不等式f(2x＋1)＋f(1－x²)≥0
∴不等式满足：
﹣1≤2x＋1≤1..................①
﹣1≤1－x²≤1...................②
又不等式＝＞f(2x＋1)≥﹣f(1－x²）
＝＞f(2x＋1)≥f(x²－1），又由1题知，f(x）在【﹣1,1】上为增函数。
∴2x＋1≥x²－1......................③
由①②③得：
补充：
1－√3≤x≤0
∴不等式的解为{x | 1－√3≤x≤0}

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/9a77b58d-1666-4a5d-86cb-1c4dcc8fd47f