Question

已知定义在[-1,1]上的奇函数f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=2^x/4^x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；
（2）试用函数单调性的定义证明：f(x)在（0,1]上是减函数：
（3)要使方程f(x)=x+b,在[-1,1]上恒有实数解，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）x∈(-1，0)时，-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)= 2^x/(4^x+1)
∴f(x)=- f(-x) =- 2^x/(4^x+1) (x∈(-1，0))
对于奇函数来说，f(-x)=- f(x)
∴f(-0)=- f(0) f(0)=0
综上知x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)
X=0时，f(0)=0
x∈(-1，0)时，f(x)= - 2^x/(4^x+1)

(2)0<X1<X2<1时，
f(x1)-f(x2)= 2^x1/(4^x1+1)- 2^x2/(4^x2+1)
=(2^x1•(4^x2+1)- 2^x2•(4^x1+1))/[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)+2^(x1+x2)(2^x2-2^x1)] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
=[(2^x1- 2^x2)(1-2^(x1+x2))] /[ (4^x1+1) (4^x2+1)]
因为0<X1<X2，所以2^x1< 2^x2
2^(x1+x2)>1,
故f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2)
F(x)在（0，1）上是减函数。
因为函数是奇函数，所以f(x)在（-1，0）上也是减函数。
从而可知，f(x)在（-1，1）是减函数.

3. f(x)=x+b 在[-1,1]上恒有实数解, 即下面三个方程中至少有一个有解。
（1） x ∈ (0,1], f(x) = 2^x / ( 1 + 4^x) = x + b ①
f(x) 单减，且 -1 < f(x) ≤ -2/5 , x+b 单增， x+b ∈ (b, 1+b]
=> b < 1, 1+b ≥ 2/5 => -3/5 ≤ b < 1
（2） x ∈[-1,0), 2^x / ( 1 + 4^x) = x + b ②
f(x) 单增，且 2/5 ≤ f(x) < 1 , x+b 单增， x+b ∈ ( -1+b, b]
=> -1+b ≤ - 2/5, b > -1 => -1 < b ≤ 3/5
（3） x = 0, 0 = x + b ③
=> b = 0
于是：-1 < b < 1

追问

为什么是x∈(-1，0)时，-x∈(0,1). 题目不是x∈(0，1)吗