Question

请各位帮忙解答一道数论题目

正整数N恰有12个正整数（包括1和N）将它们按递增顺序编号d1＜d2…＜d12.已知下标为d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8，试求正整数N
一定要有过程

Answer 1

设m=d4-1,则dm=d8*(d1+d2+d4)>d8
所以12=>m>=9
有13>=d4>=10.
又N恰有12个正约数，则N的大于1的互不相同的素因子不可能超过3个。
如果有多余3个不同的素因子，则至少有2*2*2*2=16个不同的正约数.
因此素因子不可能超过3个，通过枚举，知N可能的标准分解有以下三种情况(这里并没有对q1,q2,q3做大小排序)：
1.3个不同的素因子，则N=q1^2*q2*q3
2.2个不同的素因子，则N=q1^5*q2
3.1个素因子，N=q^12.
考虑情况3.设该素因子为p,有：d4=p^3,m=p^3-1.
dm=(1+p+p^3)*p^7.
因m>=9
则p^8|dm
有p|(1+p+p^3).不可能！
考虑情况2.令p1<p2.
因10<=d4<=13.
若d4=11,或13
则必有：p2=11或13.
此时p1=3
dm=15*d8或dm=17*d8
这两种情况都出现了新的素因子，因此d4不为11,13.
若d4=10,则p1=2,p2=5。d9=13*d8.矛盾.
若d4=12，则p1=2,p2=3.d11=15*d8,5|N矛盾.
所以情况2不可能.
考虑情况1.令2<=p1<p2<p3
d4=10,时,有p1=2,p2=5或p3=5。则，当p3=5时，p2=3,此时d4=5或4矛盾.
当p2=5，则p3>=11,此时d9=13*d8，所以p3=13，p1^2不可能整除N,所以若p2^2|N，则d8=50,d9=65,不可能，若p3^2|N，则：d8=130,d9=13^2，矛盾。
d4=12时,有p1=2,p2=3，此时d4=4,矛盾.
故d4=11或13.
当d4=13时,p3=13,m=12,
N=d12=(1+d1+13)*d8.=(14+p1)*d8.
d4|N，所以13|d8或13|14+p1显然后者不成立.13|d8.
若13^2|N，则p1*p2=14+p1，13^2=d8因此p1=2或7.
当p1=2时，p2=8,这与p2是素数矛盾,
当p1=7时,p2=3，矛盾.
若p1^2|d8，则p2=14+p1不可能.
若p1^2*p2=14+p1,则d8=13也不可能.
若p1^2=14+p1,则p2*13=d8。
此时p1无解.
若p1*13=d8,p2*p1=14+p1，不可能。
若p2^2|d8，则p1=14+p1，不可能.
若p2^2*p1=14+p1，则d8=13，不可能.
若p2^2=14+p1，则d8=p1*13.
则小于d8大于d4的正约数只能是由p1,p2组成,因此必有p2^<13
所以p2=3，此时p1=14-p2^2=5矛盾
若p2*13=d8,则p1*p2=14+p1，不可能。
因此d4!=13。
当d4=11时：有d10=(1+p1+11)*d8=(12+p1)*d8.p3=11
d10可能为q1*q2*q3,或q1^2*q2：
若为前者，则12 +p1必定为q1*q2，此时d8=q3但q3<=d3.故d10必为后者
并且d10*d3=N,d3=p2.

因此d10=p1^2*p3或p1*p3^2.
若为后者，则d8=11^2,此时12+p1=p1矛盾.
若为前者,则必有p1^2|12+p1,11|d8矛盾.
通过上面的枚举，问题没有解啊？？？？？难道我算错了？

追问

。。。。。。选你最佳吧

Answer 2

正整数N恰有12个正整数?

追问

正约数

追答

d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8这个条件不对吧，d4-1的正约数≤d4-1＜d4＜d8
d1+d2+d4＞3×d1＝3，（d1+d2+d4）×d8＞3×d8＞3×d4＞d4＞d4-1的正约数
d4-1的正约数≠d1+d2+d4）×d8

追问

肯定是对的