Question

已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x^2，其中a为大于零的常数。

已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x^2，其中a为大于零的常数。
若函数g(x)=f(x)+f'(x)，x属于[0,2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围。

Answer 1

f(x)=ax³-3x²
f '(x)=3ax²-6x
g(x)=f(x)+f '(x)=ax³+3(a-1)x²-6x
g '(x)=3ax²+6(a-1)x-6=3[ax²+2(a-1)x-2]
导函数的开口向上，g '(0)=-6<0,所以一根为正，一要为负；
且大根为极小值点，当x∈【0，2】时，在x=0处取得最大值
只需g(2)≤g(0),即：
8a+12(a-1)-12≤0
20a≤24==>a≤6/5
0<a≤6/5

追问

导函数的开口向上，g '(0)=-6<0,所以一根为正，一要为负；
且大根为极小值点，当x∈【0，2】时，在x=0处取得最大值

为什么要加这两步呢？

追答

你自己看吧，有些东西不借图形是说不清楚的，估计你已经明白了，如果再不懂就算了吧！

也不要再问了；

追问

从题中所给的信息，好像并不能得出g'(x)在[0,2]内是先减后增的。所以不用考虑。

追答

看到极大值点了吧，在y轴左侧，黄色竖线，极大值点（导函数的小根）是负的，才能说明
函数在零以后是减的

追问

对呀，但并不一定是后增。

追答

看到右边的竖线了吗？这不是后来又增了吗？
这个图我特此为你想了半天，你仔细地看一看，我想你估计是对同 一坐标系下的两个图有一点绕；
那个x=2就象播放头一样，适当时候就必须停！

追问

那为什么不能在[0，2]上单减。。。。我主要是纠结这个问题。

追答

它是可以在【0，2】上单调减的，这只是它的一种情况，它可能还有不单调减的情况
之所以这样做是把两种情况放在一起考虑，既考虑到0，2上单调减的情况，又考虑到不单调的情况
这就是本方法设计的恰到好处的地方！