Question

设函数f（x）=loga（3-2x-x2），其中a＞0，且a≠1．（1）当a=1...

设函数f（x）=loga（3-2x-x2），其中a＞0，且a≠1． （1）当a=12时，求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）在区间[-1-2，-1+2]上的最大值与最小值之差为2，求实数a的值．

Answer 1

解：由3-2x-x2＞0，解得-3＜x＜1，即f（x）的定义域为（-3，1）．
（1）当a=12时，f(x)=log12(3-2x-x2)．
令u=3-2x-x2，y=log12u．
∵u=-（x+1）2+4，∴其图象的对称轴为x=-1，
∴u=3-2x-x2在区间[-1，1）上是减函数，
又∵y=log12u是减函数，
∴函数f（x）的单调递增区间是[-1，1）．
（2）∵-1-2≤x≤-1+2，且u=-（x+1）2+4，
∴2≤u≤4．
①当a＞1时，f（x）在[-1-2，-1+2]上的最大值与最小值分别为loga4，loga2，
则loga4-loga2=2，解得a=2；
②当0＜a＜1时，f（x）在[-1-2，-1+2]上的最大值与最小值分别为loga2，loga4，
则loga2-loga4=2，解得a=22．