Question

用数学归纳法证明：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n

Answer 1

证明：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n (n>=2,n属于N*)
1）1+1/2^2=5/4 < 3/2
2) 设：1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k,
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2<(2k-1)/k+1/(k+1)^2
=(2k^3+4k^2+2k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=2-(k-1)/k(k+1)<[2(k+1)-1]/(k+1)
也就是如果n=k时成立能推出n=k+1也成立
所以，1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n

Answer 2

应该有说明n≥2吧？
证明：
①n=2时，1/1^2+1/2^2=5/4 ＜ (2×2-1)/2=3/2 成立；
②假设n=k(k≥2)时，1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k 成立；
则：n=k+1时，
1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<(2k-1)/k + 1/(k+1)^2
=(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1/(k+1)^2
＜(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1 / [k(k+1)]
=[(2k-1)(k+1)+1]/ [k(k+1)]
=k(2k+1) / [k(k+1)]
=(2k+1) / (k+1)
=[2(k+1)-1 ] / (k+1) 成立 ；
∴综上：1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n （n≥2）

Answer 3

不是小于等于号吗？因为当n=1时它不成立啊！