Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数 图象上

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数 y=x+根号2图象上的一点，且△ABP是直角三角形．
（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；

Answer 1

（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），
由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，
∴点P坐标是（2，1）；
（ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，
即（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=16①．
又由y=2x，可得y2=4x2，
代入①解得：x=±2（负值不合题意，舍去）．
当x=2时，y=2．
∴点P点坐标是（2，2）．
综上所述，点P坐标是（2，1）或（2，2）．

（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
（ii）当点P的坐标为（2，2）时，代入A、B、P三点的坐标，
解得：a=-22b=0c=22
∴所求的二次函数解析式为y=-22x2+22．

（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点C坐标为（0，22），
∴直线PC的表达式为y=-x+22．
∴点D坐标为（22，0）．
∴PD=2，BD=22-2，AD=22+2．
PDAD=222+2=2-1，
∴BDPD=PDAD．
∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．