Question

两个矩阵特征值相同能否推出秩相同？

目前可以推出的是对于特征值中没有0的n阶矩阵，由于行列式的值为特征值乘积，可知行列式不为0，即矩阵可逆，所以矩阵的秩为n。但是当特征值中有0的情况我就不能证明了。

Answer 1

特征值相同，特征值的重数可以不同；如果特征值0的重数不同，秩就未必相同。

例如，两个三阶矩阵diag(1, 1, 0)与diag(1, 0, 0)具有相同的特征值（1和0），但是前者的秩为2，后者的秩为1。

所以答案是否定的。

==============
下面是追加内容
==============

如果两个矩阵都没有特征值零，则无论其他特征值是否相同，它们的秩都一样，这是显然的。

如果两个矩阵都有特征值零，则即使特征值零的重数相同（无论其他特征值以及对应特征值的重数是否相同），它们的秩也可能不同。例如：两个2×2矩阵，一个元素全为零，另一个，右上角元素为1，其余为零。

因此，答案仍然是否定的。

（至于两个矩阵一个有特征值零一个没有，那它们的秩显然不同，但这种情况不是你所感兴趣的。）

《线性代数》（李炯生、查建国编，中国科学技术大学1988年版）引进了特征值的几何重数的概念，而把通常意义下的特征值重数（即作为特征多项式的根的重数）称为代数重数。一个特征值的几何重数，等于属于该特征值的线性无关特征向量的个数，或者说等于属于该特征值的特征子空间的维数。

按照这个定义，一个矩阵的秩等于它的阶数减去它的零度，而它的零度正好就是它的特征值零的几何重数。因此，两个矩阵的秩要相同，关键是特征值零的几何重数（而不是代数重数）要相同，至于其他特征值是否相同，则无关紧要。

以上讨论均有一个前提假定，即两个矩阵的阶数相同。如果这不成立，那么上面说的统统不对，请自动无视。

多余的话：

我想这个问题并非很难，你既然能举例说明特征值（包括重数）相同的矩阵未必相似，为什么在这个更简单的问题上反而转不过来呢？没道理，你是能转得过来的，只是你想得还不够。遇到事情，自己再多想想。我们当时学这些的时候，baidu知道根本还不存在，没有谁可以问，所有能依靠的只有自己的大脑。

Answer 2

就是这样的，理解特征值的时候要考虑重数，也就是特征值都是0，但一个是1重的，1个是n重的，自然不一样如果两个矩阵的特征值相同，包括重数，那样秩就应该是相同的

Answer 3

特征值相同，不一定相似，也不一定合同。
但
1）如果都是对称矩阵，那么特征值相同，能推出合同
2）如果两矩阵都可以相似对角化，则两矩阵特征值相同，能推出相似

Answer 4

此种情况下，设A=仅有一个元素非零，r（a）还是==1，而A的非0特征值还是1个，（当然有很多重0特征值）