Question

已知向量a与b的夹角为60°，且|a|=3.|b|=4求|a+b|与|a－b| （2）求a+b与a－b的夹角Ø的余弦值

Answer 1

17、根据已知可得 a^2=9 ，b^2=16 ，a*b=|a|*|b|*cos60=6 。
（1）由 |a+b|^2=a^2+2a*b+b^2=9+12+16=37 得 |a+b|=√37 ，
由 |a-b|^2=a^2-2a*b+b^2=9-12+16=13 得 |a-b|=√13 。
（2）由于 (a+b)*(a-b)=a^2-b^2=9-16= -7 ，
所以 cosθ=(a+b)*(a-b)/(|a+b|*|a-b|)= -7/(√37*√13)= -7/481*√481 。
18、（1）|AC|=|BC| ，因此 |AC|^2=|BC|^2 ，
所以 (cosa-3)^2+(sina-0)^2=(cosa-0)^2+(sina-3)^2 ，
化简得 -6cosa= -6sina ，那么 tana=1 ，
又 a∈(π/2，3π/2) ，所以 a=5π/4 。
（2）AC*BC=(OC-OA)*(OC-OB)=OC^2-(OA+OB)*OC+OA*OB=1-3(cosa+sina)= -1 ，
所以 cosa+sina=2/3 ，平方可得 1+2sinacosa=4/9 ，
因此 2sinacosa= -5/9 ，
那么 [2(sina)^2+sin2a]/(1+tana)=[2(sina)^2+2sinacosa]cosa/(sina+cosa)
=2sinacosa(sina+cosa)/(sina+cosa)
=2sinacosa= -5/9 。

Answer 2

17
(1)
∵|a|=3,|b|=4,<a,b>=60º
∴a●b=|a||b|cos60º=6
|a+b|²=|a|²+|b|²+2a●b
=9+16+2×6=37
∴|a+b|=√37
|a-b|²=|a|²+|b|²-2a●b
=9+16-2×6=13
∴|a-b|=√13
(2)
cosθ=(a+b)●(a-b)/(|a+b||a-b|)
=(|a|²-|b|²)/(√37*√13)
=(9-16)/√481
=-(7√481)/481
18
(1)
AB=(cosα-3,sinα)
BC=(cosα,sinα-3)
∵|AC|=|BC|
∴(cosα-3)²+sin²α=cos²α+(sinα-3)²
cos²α+sin²α-6cosα+9 =cos²α+sin²α-6sinα+9
∴sinα=cosα
∴tanα=sinα/cosα=1
∵α∈(π,3π/2)
∴α=5π/4
(2)
AC●BC=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)
=cos²α+sin²α-3(sinα+cosα)
=1-3(sinα+cosα))=-1
∴sinα+cosα=2/3
两边平方
1+2sinαcosα=4/9
2sinαcosα=-5/9
∴(2sin²α+sin2α)/(1+tanα)
=(2sin²α+2sinαcosα)/(1+sinα/cosα)
=2sinαcosα(sinα+cosα)/(cosα+sinα)
=2sinαcosα=-5/9

Answer 3

|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=9+2*3*4*(1/2)+16=37, |a+b|=√37
|a-b|^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=9-2*3*4*(1/2)+16=13, |a-b|=√13

cosθ=(a+)(a-b)/(|a+b||a-b|)= (a^2-b^2)/(|a+b||a-b|)= -7/|√481