Question

已知直角梯形abcd中,ad平行bc,角bcd=90度,bc=cd=2ad

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF

求bq=bp注意是求bq=bp，不要别的

Answer 1

1、∵E是BC中点，即BE=CE=1/2BC
BC=CD=2AD，即AD=1/2BC
∴AD=BE
∵AD∥BC(BE)
∴ABED是平行四边形
∴AB=DE
2、∵E、F分别是BC、CD边的中点
即CF=DF=1/2CD，CE=BE=1/2BC
CD=BC
∴CF=CE
∵BC=CD，∠BCF=∠DCE=90°(∠BCD=90°)
∴△BCF≌△DCE(SAS)
∴BF=DE=AB
∴∠BAF=∠BFA
3、∵△BCF≌△DCE(SAS）
∴∠CDE=∠CBF即∠FDP=∠EBP
∵∠DPF=∠BPE
DF=BE
∴△BPE≌△DPF(AAS)
∴PF=PE
∵CF=CE，PC=PC
∴△CEP≌△CFP(SSS)
∴∠ECP=∠FCP=1/2∠BCD=45°
∵AD=1/2CD=DF
AD∥BC
∴∠ADC=90°
△ADF是等腰直角三角形
∴∠AFD=45°
∴∠AFD=∠FCP=45°
∴AF∥CQ(同位角相等，两直线平行）
∴∠BPQ=∠BFA
∠BQP=∠BAF
∴∠BQP=∠BPQ
∴BQ=BP

Answer 2

证明：
BC=CD=2AD，
BC=2BE,CD=2FC,BC=2EC
AD=BE
因AD//BE
四边形ABED是平行四边形
BQ//DE
所以<BQP=<EPC
BC=DC,EC=FC,<BCF=<DCE=90°
RT三角形BCF和RT三角形DEC全等（SAS）
<CBF=<CDE
BE=DF,<BPE=<DPF,<CBF=<CDE
三角形BPE和三角形DPC全等（AAS）
PE=PF
因EC=FC,PC=CP
三角形PEC和三角形PFC全等（SSS）
<EPC=<FPC
又<FPC＝<BPQ
因<BQP=<EPC
<BQP＝<BPQ
所以BQ=BP

Answer 3

连接BD交CQ于G。
三角形BCD中，根据燕尾定理，有BPD面积/CPD面积=BE/CE=1，即：BPD面积=CPD面积；BCP面积/BDP面积=CF/DF=1，即：BCP面积=BDP面积。所以BG/DG=BCP面积/DCP面积=1，即：BG=DG。又BC=CD且BC垂直于CD，所以CG垂直于BD。
BE=BC/2=AD且AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形，AB∥DE；同理可证BF∥DQ，所以四边形BPDQ为平行四边形。对角线相互垂直的平行四边形是菱形，所以BQ=BP。