Question

15，已知a∈R，不等式 [(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0在x>0时恒成立，则a=___

解题疑问：
解答中它们都过定点P（0，-1），为什么？ ∴a>1为什么？
显然过点M（1/(a-1) , 0）,为什么？
或a=0(舍去)为什么？
解答附在下面

Answer 1

解：
(1)因为无论a取任何值的时候，当x=0的时候，
y1=(a-1)x-1=0-1=-1;
y2=x^2-ax-1=0-0-1=-1;
所以这两个构造函数过定点P（0，-1）。
（2）至于第二问说显然过点M（1/(a-1) , 0），还不是就是将M（1/(a-1) , 0）
带入到y2=x^2-ax-1中，证明当x=1/(a-1)的时候，y2=0.
那么y2=x^2-ax-1就过点M（1/(a-1) , 0）。
（3）当a=0的时候，x^3的系数为负数，怎么可能使得当x>0的时候，整个
式子恒大于等于0，所以a=0的时候舍去。

追问

你好，a>1,为什么？ 另外，关于解答（1），那怎么看出来这2个都过定点（0，-1），过是过，一开始不知道啊！

追答

a>1是因为最高次x^3的系数必须大于0才能满足整个式子恒大于等于0.
所以有：a-1>0 解得：a>1.
关于过定点，就必须会注意看函数了。
这种带有其他不确定因素a的情况下，就可以假设x=0的情况下，与任何a值都无关。
所以要找定点，首先必须找到x值满足与a的值无关。
例：y=x^2-a(x-1)+2 这样的式子就找x=1时，与a值无关，才过定点。
而题中看这两个式子只要当x=0的时候，就与a值无关了。

追问

你好，非常感谢！那“a>1是因为最高次x^3的系数必须大于0才能满足整个式子恒大于等于0.
所以有：a-1>0 解得：a>1.” 这个有没有其他说明方法？

追答

这个应该没有了，在一元高次的函数(最高次为奇数)中，在x>0的情况下要满足：
恒大于等于0，那么最高次必须为正数；
恒小于等于0，那么最高次必须为负数。