Question

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在边BC上,且BD=2,过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于———

Answer 1

如图，主要运用的定理就是等高的三角形面积之比=底之比

这里显然△ABD和△ACD等高

所以面积之比

S△ACD:S△ABD=CD:BD=(6-2):2=4:2=2:1

而S△ACD+S△ABD=S△ABC

所以

S△ACD=2/(2+1) S△ABC=(2/3)S△ABC

然后我们知道DE是面积平分线

所以S△CDE=(1/2)S△ABC    (*)

然后发现

△ADE和△CDE等高

所以两者的面积之比

S△ADE:S△CDE=AE:CE=AE:(5-AE)

S△ADE+S△CDE=S△ACD=(2/3)S△ABC

所以由(*)

S△ADE+(1/2)S△ABC=(2/3)S△ABC

S△ADE=(1/6)S△ABC

S△ADE:S△CDE=(1/6):(1/2)=1/3=AE:(5-AE)

3AE=5-AE

AE=5/4

Answer 2

ABC为等腰，且BC上的高=4（高将ABC分为3-4-5直角三角形），面积=12
DE为面积等分线
CD=4，CDE面积=6，所以E到CD的距离EF=3
EF为CDE的高
EF/EC=4/5
EC=15/4
AE=5-15/4 = 5/4

Answer 3

S△ABC=12 h1=√5^2-3^2=4
S△CDE=6
CD=4 h2=3
3/4=CE/5
CE=15/4
AE=5-15/4=5/4

线段AE的长等于5/4

Answer 4

△CDE的面积是△ABC的一半，而CD = (2/3)BC，因此CE = (1/2)/(2/3) = (3/4)AC
因此AE = (1/4)AC = 5/4

Answer 5

我来凑热闹。请看图如何？

Answer 6

设AE与BC相交于点F
因为AB‖CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF
又因为AB=CE
所以△ABF≌△ECF
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AEDS△ADE+(1/2)S△ABC=(2/3)S△ABC
S△ADE=(1/6)S△ABC
S△ADE:S△CDE=(1/6):(1/2)=1/3=AE:(5-AE)
3AE=5-AE
AE=5/4