无穷级数1/n!的敛散性,大概说说怎么证,能详细说说就更好啦,谢谢
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我个人感觉,抽象级数的敛散性要根据具体的情况进行具体的分析,并没有什么通用的方法,但只要能够牢记级数敛散性的判别方法,并能配合无穷小和不等式的一些相关知识的合理运用,相信还是可以对解题起到重大作用的。
关于你举得2个例子的证明如下:
第一题,
首先,由基本的不等式可得:0小于等于2|(u_n)x(v_n)|(中间的x是乘号)小于等于u_n^2+v_n^2,因为已知u_n^2和v_n^2都收敛,所以u_n^2+v_n^2必然收敛,于是,由正项级数的比较判别法可知2|(u_n)x(v_n)|收敛,也即级数2(u_n)x(v_n)是绝对收敛的,由绝对收敛的性质可知,2(u_n)x(v_n)必然也是条件收敛的。
再次(u_n+v_n)^2=u_n^2+2(u_n)x(v_n)+v_n^2,
已知u_n^2和v_n^2都收敛,上面已证
2(u_n)x(v_n)也收敛,所以3个收敛的级数相加所得的级数必然收敛,也即(u_n+v_n)^2是收敛的,由此得证。
第二题:
已知u_n发散,则采用cauchy收敛准则的否定描述有:存在e/2>0,任取n1属于自然数,存在n>n1,存在p1>0,使得|u_(n+1)
+u_(n+2)+.........+u_(n+p)|>=
e/2,
由基本不等式的性质可得:
|u_(n+1)|+|u_(n+2)|+......+|u_(n+p)|
>=|u_(n+1)
+u_(n+2)+.........+u_(n+p)|>=
e/2
所以可知|u_n|也是发散的。
同理已知v_n发散,则采用cauchy收敛准则的否定描述有:存在e/2>0,任取n2属于自然数,存在n>n2,存在p2>0,使得|v_(n+1)
+v_(n+2)+.........+v_(n+p)|>=
e/2,
由基本不等式的性质可得:
|v_(n+1)|+|v_(n+2)|+......+|v_(n+p)|>=|v_(n+1)
+v_(n+2)+.........+v_(n+p)|>=
e/2
所以可知|v_n|也是发散的。
有了上面的分析,则对于|u_n|+|v_u|,对于上述的e,任取n,取n=min{n1,n2},存在n>n,任取p,取p=max{p1,p2}+max{n1,n2}+min{n1,n2}
||u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+...+|u_(n+p)|+|v_(n+p)||
=|u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+......+|u_(n+p)|+|v_(n+p)|>=e
与cauchy收敛准则相违背,所以|u_n|+|v_u|发散
当然,打字不是很方便,很多专业的数学符号和数学表达都表现不出来,只能大致证明一下。
关于你举得2个例子的证明如下:
第一题,
首先,由基本的不等式可得:0小于等于2|(u_n)x(v_n)|(中间的x是乘号)小于等于u_n^2+v_n^2,因为已知u_n^2和v_n^2都收敛,所以u_n^2+v_n^2必然收敛,于是,由正项级数的比较判别法可知2|(u_n)x(v_n)|收敛,也即级数2(u_n)x(v_n)是绝对收敛的,由绝对收敛的性质可知,2(u_n)x(v_n)必然也是条件收敛的。
再次(u_n+v_n)^2=u_n^2+2(u_n)x(v_n)+v_n^2,
已知u_n^2和v_n^2都收敛,上面已证
2(u_n)x(v_n)也收敛,所以3个收敛的级数相加所得的级数必然收敛,也即(u_n+v_n)^2是收敛的,由此得证。
第二题:
已知u_n发散,则采用cauchy收敛准则的否定描述有:存在e/2>0,任取n1属于自然数,存在n>n1,存在p1>0,使得|u_(n+1)
+u_(n+2)+.........+u_(n+p)|>=
e/2,
由基本不等式的性质可得:
|u_(n+1)|+|u_(n+2)|+......+|u_(n+p)|
>=|u_(n+1)
+u_(n+2)+.........+u_(n+p)|>=
e/2
所以可知|u_n|也是发散的。
同理已知v_n发散,则采用cauchy收敛准则的否定描述有:存在e/2>0,任取n2属于自然数,存在n>n2,存在p2>0,使得|v_(n+1)
+v_(n+2)+.........+v_(n+p)|>=
e/2,
由基本不等式的性质可得:
|v_(n+1)|+|v_(n+2)|+......+|v_(n+p)|>=|v_(n+1)
+v_(n+2)+.........+v_(n+p)|>=
e/2
所以可知|v_n|也是发散的。
有了上面的分析,则对于|u_n|+|v_u|,对于上述的e,任取n,取n=min{n1,n2},存在n>n,任取p,取p=max{p1,p2}+max{n1,n2}+min{n1,n2}
||u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+...+|u_(n+p)|+|v_(n+p)||
=|u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+......+|u_(n+p)|+|v_(n+p)|>=e
与cauchy收敛准则相违背,所以|u_n|+|v_u|发散
当然,打字不是很方便,很多专业的数学符号和数学表达都表现不出来,只能大致证明一下。
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