Question

关于二阶微分方程特解通解问题

一般知道三个二阶非齐次微分方程的特解a,b,c，则可知其通解为C1(a-b)+C2(b-c)+a.(C1,C2为任意常数)
那么，如果只知道两个特解a,b，如何求特解，看到您的答案是，通解为C1a+C2b. 我不太明白这个答案。
因为有道题是这样的。
题目：已知一个二阶常系数非齐次微分方程的两个特解是y1=cos2x-xsin2x, y1=sin2x-xsin2x. 求此微分方程。
答案中，直接由于题设得知方程的通解是：
y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x
这是怎么得出的啊？

还有一个问题，二阶齐次微分方程一定有两个线性无关的解吗？

非常感谢啊。

Answer 1

你给的例子实际上是一种特殊情形，不具有一般性。
对于你给的这个例子，由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x

追问

那是不是说，如果知道一个二阶常系数非齐次微分方程的两个特解，是无法表示出通解的？

追答

除像现在这样的特例外，一般来说是这样的。