Question

有关基本不等式的一道题，像数学高手求教！

已知x＞0，y＞0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值
其实题很简单，但我有一个疑问，我现在有两种解法
绝对正解：由2x+9y=xy推出2/y+8/x=1
则(x+y)(2/y+8/x)最小值为14
2.我的一种解法，不知道哪错了，求高手见解：由于2/y+8/x=1
∴原式=x+y+2/y+8/x-1
但最值却不是14了，为什么？

Answer 1

按照你的解法算：
原式=x+y+2/y+8/x-1
≥2√（xy）+2√（16/xy）-1
其实往下你已经不用在算了，这种思路你想到这必须停，这一步已经错了。
基本不等式最重要的是考虑等号的情况
在上述式子中，满足x+y+2/y+8/x-1≥2√（xy）+2√（16/xy）-1的条件是①：当且仅当x=y
②：当且仅当2/y+8/x
因为这里面涉及到了两个基本不等式，而同时满足这两个条件的方程肯定无解，因此解出来当然是错的。

Answer 2

已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0．
2x+8y=xy即：
2 y +8 x =1．
利用基本不等式：则x+y=（x+y）（2 /y+ 8 /x ）=2x/y +8y /x +10≥8+10=18．
则x+y的最小值为18．
故答案为18．

追问

不要在意这些细节...我只想问为什么我的解法错了

Answer 3

这里运用基本不等式无法取等，取等则无法满足2x 8y=xy，x,y范围发生变化