Question

已知函数f<X>=a2^x+b3^x,其中,常数a,b满足ab≠0,

<1>若ab>0,判断函数f<X>的当调性
<2>若ab<0,求f(x+1)>f<x>时的x的取值范围

Answer 1

f(x)=a*2^x+b*3^x，其中指数函数 2^x>0 和 3^x>0；
（1）若 ab>0，则有 a>0 且 b>0，则 f'(x)=(aln2)*2^x+(bln3)*3^x>0，函数 f(x) 单调增加；
或 a<0 且 b<0，则 f'(x)<0，函数 f(x) 单调减小；
（2）f(x+1)>f(x) 即a*2^(x+1)+b*3^(x+1)>a*2^x+b*2^x → a*2^x+2b*3^x>0 → a(2/3)^x+2b>0；
若 a>0，则有 (2/3)^x>-2b/a，x<[ln(-2b/a)]/ln(2/3)=[lna-ln(-2b)]/(ln3-ln2)；
若 a<0，则有 (2/3)^x<-2b/a，x>[ln(-2b/a)]/ln(2/3)=[ln(-a)-ln(2b)]/(ln3-ln2)；