Question

已知函数fx＝(ax-1)/e^x

1.当a＝1时求fx的单调区间
2.若对任意t∈[1/2，2]，ft＞t恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1. f(x)=(x-1)/e^x

        =(x-1)e^(-x)

   f'(x)=e^(-x)-(x-1)e^(-x)

         =e^(-x)(2-x)

   令f'(x)=0

      x=2

   x>2时,f'(x)<0,所以f(x)单调递减

   x≤2时,f'(x)≤0,所以f(x)单调递增

2. f(t)=(at-1)/e^t>t恒成立

   所以at-1>te^t恒成立

   所以a>1/t+e^t恒成立

   所以只要a大于g(t)=1/t+e^t的最大值

   g'(t)=-1/t²+e^t

   令g'(t)=-1/t²+e^t=0得e^t=1/t²

   e^t=1/t²通过图像可以看到次方程有唯一解t0∈[1/2,2]; 

   所以t∈[1/2,t0)时,g'(t)<0;

   t∈(t0,2)时,g'(t)>0;
   即：函数g(t)在[1/2,t0]上是减函数；在[t0,2]上是增函数；
   所以t=1/2时,g(1/2)=2+√e;     t=2时,g(2)=1/2+e²>2+√e
   所以g(t)在[1/2,2]上取到最大值1/2+e²;

   所以a>(1/2+e²)

    

    

您好，土豆团邵文潮为您答疑解难。
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳。
答题不易，请谅解，谢谢。
另祝您学习进步！

Answer 2

(x)=(ax-1)/e^x，若对任意t∈[1/2,2]，f(t)>t恒成立；即f(x)>x在[1/2,2]上的最小值大于0，
因为：在[1/2,2]上f(x)>x等价于：(ax-1)/e^x>x即：ax-1>xe^x, ax>1+xe^x;a>1/x+e^x
所以只需a>(1/x+e^x)的最大值即可；
因为：由 (1/x+e^x) `=-1/x²+e^x=0得：e^x=1/x²通过图像可以看到次方程有唯一解
x`∈[1/2,2]; 所以x∈[1/2,x`)时，(1/x+e^x) `<0;x∈(x`,2)时，(1/x+e^x) `>0;
即：函数(1/x+e^x) 在[1/2,x `]上是减函数；在[x `,2]上是增函数；
所以x=1/2时，：函数(1/x+e^x)=2+√e; x=2;(1/x +e^x )=1/2+e²>2+√e
所以函数：(1/x+e^x)在[1/2,2]上取到最大值1/2+e²：; 所以a>(1/2+e²)