Question

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M.N.P分别为A1B1,A1D1,C1C的中点

1>求异面直线D1P与AM所成的角
2>求异面直线DN与AM所成角的正弦值
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Answer 1

解：1.做DM1∥AM 交C1D1与M1，
在正方形CDD1C1中，RT△DD1M1≌RT△D1C1P → DM1⊥D1P → D1P与AM所成的角为90°
图面与2的答案稍后奉上

Answer 2

取C1D1中点为Q,连DQ,NQ,MQ
1.∵MQ∥A1D1∥AD(平行且等于)
∴AMQD为平行四边形
∴DQ∥AM
∴AM与D1P所成角为DQ与D1P所成角
∵DD1=D1C1,DD1Q=D1C1P=90°,D1Q=C1p
∴△DD1Q≌△D1C1P
∴D1DQ=C1D1P,设DQ与D1P交点T
∴D1TQ=PD1D+D1DQ=PD1D+C1D1P=C1D1D=90°
∴Am与D1p所成角为90°
2.∵AM∥DQ(已证)
∴DN与AM所成角为DN与DQ所成角NDD1
在△NDD1中,DN=DD1=√5/2,ND1=√2/2
∴cosNDD1=(5/4+5/4-1/2)/(2*5/4)=4/5
∴sinNDD1=3/5,即异面直线DN与AM所成角的正弦值为3/5