Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC上一点,AE⊥BD,AE的延长线交BC于F

若∠EDA=∠FDC.求证：D是AC的中点

Answer 1

证明：过点C作CG⊥AC交AF的延长线于点G
∵∠BAC＝90，AB＝AC
∴∠ABD+∠ADB＝90，∠ACB＝45
∵AE⊥BD
∴∠CAG+∠ADB＝90
∴∠ABD＝∠CAG
∵CG⊥AC
∴∠ACG＝∠BAC＝90
∴△ABD≌△CAG （ASA）
∴AD＝CG，∠EDA＝∠G
∵∠EDA＝∠FDC
∴∠EDA＝∠G
∵∠GCF＝∠ACG-∠ACB＝45
∴∠ACB＝∠GCF
∵CF＝CF
∴△CDF≌△CGF （AAS）
∴CD＝CG
∴AD＝CD
∴D是AC的中点

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Answer 2

证明：作∠BAC的平分线交BD于G。
∵∠BAC=90°
∴∠BAG=CAG=45°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∵∠CAF+∠EAB=90°
∴∠CAF=∠ABG
∵AB=AC
∴∠C=45°
∴∠BAGF=∠C
∴⊿ABG≌⊿CAF
∴AG=CF
∵∠C=∠DAG ∠CDF=∠ADG
∴⊿CDF≌⊿ADG
∴CD=AD
∴D是AC的中点