Question

求x->∞，xsin(2x/(x^2+1))的极限

如图，这道题为什么不能这样做，求告知

Answer 1

具体如下：

lim(x-->+∞) xsin[2x/(x^2+1)]

=lim(x-->+∞) x2x/(x^2+1)

=2-lim(x-->+∞) 2/(x^2+1)

=2

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

Answer 2

重要公式，

方法如下，
请作参考：

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

答:这里lim(x-->+∞) sin[2x/(x^2+1)]≠0，其值只是趋近于0的一个无穷小，即lim(x-->0)sinx=x≠0。所以，
lim(x-->+∞) xsin[2x/(x^2+1)]
=lim(x-->+∞) x2x/(x^2+1)
=2-lim(x-->+∞) 2/(x^2+1)=2

追问

也就是说，0*无穷大等于0，而无穷小*无穷大是不确定是吗

追答

后半句对的

前面是说“0×±∞=0”?对！

后面意思是要看，谁增得快

是变小得快，还是变大得快。所以不确定

追问

明白了，谢谢！

追答

不谢！

悬赏的金币呢？

Answer 5

sin 后面， 分子除用以 x， 分母除用以 x^2, 不是恒等运算。 应为 ：
原题 = lim<x→∞> xsin[2/(x+1/x)] ， sin[2/(x+1/x)] ~ [2/(x+1/x)]
= lim<x→∞> x[2/(x+1/x)] = lim<x→∞> [2x/(x+1/x)]
= lim<x→∞> [2/(1+1/x^2)] = 2