Question

a、b、c是正实数，abc(a+b+c)=1,求S=(a+c)(b+c)的最小值

Answer 1

根据abc(a+b+c)=1,有a+b+c=1/(abc);
s=(a+c)(b+c)
= (a+b+c - b)(a+b+c - a)
= (1/(abc) - b)(1/(abc) - a)
=1/(abc)*1/(abc) - (a+b)/(abc) + ab
=(a+b+c)/(abc) - (a +b)/(abc) + ab
=(a+b+c-a-b)/abc + ab
= 1/ab + ab >= 2
当且仅当1/ab = ab 即ab = 1时等号成立。

Answer 2

S=ab+c^2+(a+b)c
因为a+b=1/(abc)-c代入上式
S=ab+c^2+c/(abc)-c^2
=ab+1/(ab)
>=2(当且仅当ab=1时，＂=＂成立）
所以S的最小值是2。