Question

已知f(x)=asinwx+bcoswx(w＞0)的最小正周期为π，且当x=π/12时，有最大值4，求a,b,w的值及单调递增区间

要过程

Answer 1

答：
f(x)=asinwx+bcoswx
=√(a²+b²) { [a/√(a²+b²)]sinwx+[b/√(a²+b²)]coswx }
=√(a²+b²) sin(wx+β)
上述过程就是辅助角公式的推导过程：cosβ=a/√(a²+b²)，sinβ=b/√(a²+b²)

最小正周期T=2π/w=π，w=2
x=π/12时有最大值4，则：
f(π/12)=√(a²+b²) sin(2*π/12+β)=4
所以：
√(a²+b²)=4
sin(π/6+β)=1
所以：
a²+b²=16
π/6+β=π/2
β=π/3
cosβ=a/√(a²+b²)=cosπ/3=1/2
所以：a=2，b=2√3
所以：f(x)=4sin(2x+π/3)
单调增区间满足：2kπ-π/2<=2x+π/3<=2kπ+π/2
所以：单调增区间为[kπ-5π/12，kπ+π/12]，k∈Z

综上所述：
a=2，b=2√3，w=2
单调增区间为[kπ-5π/12，kπ+π/12]，k∈Z

Answer 2

f(x)=asinwx+bcoswx(w＞0)
=√(a²+b²)[a/√(a²+b²)*sinwx+b/√(a²+b²)*coswx]
=√(a²+b²)sin(wx+φ)
sinφ=b/√(a²+b²) ,cosφ=a/√(a²+b²)
∵f(x)最小正周期为π
∴2π/w=π,w=2
∵当x=π/12时，有最大值4
∴a²+b²=16
sin(2×π/12+φ)=1
∴φ=π/2-π/6=π/3
∴cosφ=a/4=1/2,
∴a=2 ,b=2√3
∴f(x)=4sin(2x+π/3)
由2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2,k∈Z得
kπ-5π/12≤x≤kπ+π/12,k∈Z
∴f(x)单调递增区间为
[kπ-5π/12,kπ+π/12],k∈Z