Question

已知4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩等于3,且向a,b,c是3个不同解向量,则通解是

为什么是x=k(a-b)+c

Answer 1

4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩等于3，所以其导出组的基础解系中只有一个解向量(4-3=1)，而非齐次线性方程组的任意两个解的差是导出组Ax=0的解，则a-b即为Ax=0的解，k(a-b)就是Ax=0的通解，又c是Ax=0的一个特解，所以 x=k(a-b)+c就是Ax=0的通解。

Answer 2

就是求出齐次方程组的基础解系和一个特解即可。
注意到定理：若a1，a2是ax=b的两个不同的解，即aa1=b，aa2=b，
则a(a1-a2)=aa1-aa2=b-b=0，因此
a1-a2是齐次方程组的解，而a的秩是3，故基础解系的个数为
4-3=1，于是有a1-a2恰好是ax=0的基础解系。
另外，a1是一个特解，因此通解为
k(a1-a2)+a1，取c=2k即可。因此选a。