Question

已知函数f(x)=-x^2-ax+b+1（a>0,b∈R）的定义域为[-1,1],置于为[-4,0]

（1）求解析式 （2）是否存在正实数t，使得f(x)《tx恒成立？

Answer 1

(1)由题知，
设a＞0，当-1≤x≤1时，函数y=-x²-ax+b+1开口向下
的最小值是-4，最大值是0，

已知，其对称轴为 x = -a/2

分情况讨论

1.a∈(2,+∞)
x = -a/2∈(-∞,-1)
所以
f(x)max = f(-1) = -1+a+b+1 = b+a = 0
f(x)min = f(1) = -1-a+b+1 = b-a =-4
所以，a= 2,b= -2
舍去。

2.a∈(0,2]
x = -a/2∈[-1,0)
所以
f(x)max = f(-a/2) = a²/4+b+1 = 0
f(x)min = f(1) = -1-a+b+1 = -a+b =-4
所以，a= -6,b= -10(舍去)或a= 2,b= -2

综上所述，
a=2，b=-2
所以f(x)=-x²-2x-1

（2）f(x)=-x²-2x-1≤tx
x²+(t+2)x+1≥0恒成立
只要x²+(t+2)x+1的最小值≥0
设g(x)=x²+(t+2)x+1
g(-1)=1-t-2+1≥0
解得t≤0
g(1)=1+t+2+1≥0
t≥-4
g(t+2/2)=-(t²+2t+1)/4+1≥0
解得-3≤t≤1
综合得-3≤t≤0
所以不存在正实数，使得f(x)≤tx恒成立!