Question

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，求证平面PAB⊥PBC

Answer 1

如图，我们作AG垂直AB于G点，作GH垂直PB交PC于H点，连接AH。作AI垂直PC，连接IG，角AGH,就是平面PAB和平面PBC的夹角，过H作HJ垂直AC。设AB=1，那么PA=2，容易求出AC=√3，在直角三角形PAB中，PB=√5,AG=2√5/5,PG=4√5/5。因为PA垂直ABC平面，那么，PA垂直AC，所以PAC为直角三角形，r所以PC=√7,所以AI=2√21/7.PI=4√7/7根据三垂线定理，可得GI垂直PC。而GH垂直PB。所以有三角形PGH相似三角形PIG,所以有PI/PG=PG/PH，所以PH=4√7/5，所以GH=4√2/5。因为HJ垂直AC，所以PA∥HJ。所以三角形PAC∽三角形HJC。所以PH/PC=AJ/AC。代入可得AJ=4√3/5.CH/PC=HJ/PA，所以HJ=2/5，所以AH=√52/5。三角形AGH中，AG=2√5/5，AH=√52/5，GH=4√2/5，根据勾股定理，AH²=AG²+GH²，所以角AGH为直角。所以平面PAB⊥PBC。