Question

若函数f(x)=｛①a^x，x＞1；②(4-a/2)x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

因为f(x)在R上是增函数，故结合图像｛①a＞1；②4-a/2＞0；③4-a/2+2≤a，解得4≤a＜8为什么有③4-a/2+2≤a，这个是怎么得来的

Answer 1

若f(x)={a'x(x>1),(4-a/2)x+2(x<=1)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围.
答：答案a的取值范围[4,8)
理由：(1) f(x)=a'x (x>1)，要单调递增必须a>1,且f(x)在范围x>1 上的最小值为f(1)=a

(2) f(x)=(4-a/2)x+2 (x<=1),要单调递增必须(4-a/2)>0,即a<8,且f(x)在范围x<=1 上的最大值为f(1)=(4-a/2)+2

(3) 要使函数在R上单调递增，必有：f(x)在范围x>1 上的最小值f(1)=a 大于 f(x)在范围x<=1 上的最大值f(1)=(4-a/2)+2
即a>=(4-a/2)+2,即a>=4
综合（1）（2）（3）中取交集，知实数a的取值范围是[4,8)

Answer 2

解：因为f(x)由2部分组成，由于函数递增，在x>1的部分应该要大于在x≤1的部分故在他们的边界处应有f①（1）>f②（1）即a^1>(4-a/2)*1+2就是酱紫来的