Question

椭圆的焦半径公式推导是怎么样的？

Answer 1

椭圆 焦点F1 F2在x轴上的交半径公式的具体推导过程如下：

证明：

|PF1|²。

=(x - c)² + y²。

=[a²(x - c)² + a²y²]/a²。

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² /。

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²。

=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²。

=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²。

=(a² - cx)²/a²。

∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex。

同理可证：PF2 = a + ex。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴:

1)焦点在X轴时，标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)。

2)焦点在Y轴时，标准方程为:y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)。

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截。

有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。