Question

因式分解......

一.能力拓展①求证：无论x、y为何数，代数式x2y2-2xy+3的值为正数。②求证：32001-4*32000+10*31999能被7整除二.因式分解1. 3ax2+6axy+3ay22. m2-19m+903. （a+2b）2-7（a+2b）-44 三.因式分解结果的完备性例.指出下面因式分解的错误并改正.1. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x2. x4-18x2+81=(x2-9)2 四.因式分解结果的整式性。指出下面因式分解的错误，并加以改正3x2-3x=3x2(1-1/x) 五.因式分解的意义1. 化简：（x2y-4xy2+4y3) /(xy-2y2)2. 解方程:x2-x-6=0

Answer 1

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
因式分解-方法
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)】
a^m+b^m=(a+b)【a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)】(m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a \-----/b ac＝k bd＝n
c /-----\d ad＋bc＝m

Answer 2

一、①原代数式=(XY)^2-2XY+1+2=(XY-1)^2+2 因任何数平方均不小于0，故有：(XY-1)^2+2≥2＞0 即无论x、y为何数，代数式x2y2-2xy+3的值为正数。 ② 3^2001-4*3^2000+10*3^1999 =3^1999*(3^2-4*3+10) =3^1999*7 因3^1999为整数，故上式能被7整除！二、（1）3aX^2+6aXY+3aY^2=3a(X^2+2XY+Y^2)=3a(X+Y)^2 （2）m^2-19m+90=(m-10)(m-9) （3）(a+2b)^2-7(a+2b)-44=[(a+2b)-11][(a+2b)+4]=(a+2b-11)(a+2b+4)三、（1）X^2-4+3X=(X^2-1)+(3X-3)=(X+1)(X-1)+3(X-1)=(X-1)(X+4) （2）X^4-18X^2+81=(X^2-9)^2=[(X+3)(X-3)]^2=(X+3)^2(X-3)^2四、 3X^2-3X=3X(X-1) 不能提取因式X^2，因X为任意值，当X为0时，1/X无意义！五、（1） (X^2Y-4XY^2+4Y^3)/(XY-2Y^2) =[Y(X^2-4XY+4Y^2)]/[Y(X-2Y)] =[Y(X-2Y)^2]/[Y(X-2Y)] =X-2Y （2） X^2-X-6=0 (X-3)(X+2)=0 所以有：X-3=0，或X+2=0 解得：X=3，或X=-2