Question

学好高中的因式分解的方法。

Answer 1

学习因式分解必须有多项式乘法的基础，而且，对于多项式乘法只是会还不能满足学习因式分解的要求，一定要对多项式乘法运算非常熟悉。只有乘法的基础牢固，才能或者说才有可能学好因式分解。

此外，要牢记常用的五个乘法公式，并灵活掌握。这样，对于它们的逆运算，才能够较好地接受和学习，因此建议同学们在学习因式分解之前，把多项式的乘法特别是乘法公式做一下系统复习。根据因式分解与多项式乘法关系，我们往往利用多项式乘法来检验因式分解的正确性。

其次，在学习因式分解的过程中，有四种基本分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。对于这些方法，有些同学一说就明白，一做却又不会。原因就在于他们的练习量不够，只有量变才有质变，因此学好数学有一种重要方法──必须辅以一定的练习。

拿到一道因式分解，在方法的选取上一般是：1.先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；2.再看能否使用公式法；3.对于二次三项式的多项式，在不能使用公式法时要考虑十字相乘法；4.对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；5.若以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和待定系数法等多种分解因式的方法。

第三，因式分解的结果应是几个“整式”的积。如果结果是乘积的形式，但括号内并不是整式，也不能说是完成了因式分解。我们还应注意，因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，也就是我们所俗称的因式分解必须“彻底”。当我们在分解因式时发现有二次或二次以上的因式时应注意分解的结果能不能再分解，如果能分解，应该继续分解下去。当然，因式分解是否“彻底”，与指定的范围有关，在本章只要求在有理数范围内分解因式，到以后学了数的开方后，有些式子在实数范围内还可以分解。

最后，因式分解不仅是数学的一种基本方法，它也是下一章学习分式的基础，因式分解不过关，分式就不可能学好。

Answer 2

因式分解方法步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
分组分解法
分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2． x2-x-y2-y
解法：原式=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2
原式=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)

十字相乘法
十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
例1：x2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
例2：分解7x2-19x-6
图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3
因为　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
所以，原式=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
例3：6X2+7X+2
第1项二次项（6X2）拆分为：2×3
第3项常数项（2）拆分为：1×2
2（X）　3（X）
1　2
对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）
纵向相乘，横向相加。
十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。

拆添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．

配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)．

因式定理
对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．

综合除法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

主元法
例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
相关公式
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
也可以参看右图。

双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 　2y 　2
x 　3y　 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
④横向相加，纵向相乘。

二次多项式
（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a≠0)
当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).