Question

请在这里概述您的问题在三角形ABC中,角ABC=40度,角ACB=30度,P为角ABC的角平分线上的一点,角PCA=20度,BP

交AC于M,CP交AB于N,求证，PM=NA

Answer 1

第一步：连接好AP先！！

证明△BMA∽△CNA，理由∠ABM＝∠NCA=20°，∠BAC=∠BAC

所以AB:AC=BM:CN=AN:AM

证明△BNP∽△CMP，理由∠ABM＝∠NCA=20°，∠NPB＝∠MPC

所以 BN:CM=NP:PM=BP:CP（以上过程不规范，自己搞定啦） 

∵AB-BN:AC-CM=AN:AM

又∵AN:AM=AB:AC

∴AB-BN:AC-CM=AB:AC

∴ BN:CM=AB:AC

∵BN:CM=NP:PM

∴NP:PM=AB:AC=AN:AM（貌似行，毕业以后我都忘记了）

∵在△BCM中，∠ABC+∠NCB=50°

∴外角ANC等于50°

同理，∠AMP=50°

∴∠AMP=∠ANC=50°

∵NP:PM=AN:AM

∴NP:AN=PM:AM

在△ANP与△AMP中

NP:AN=PM:AM，∠AMP=∠ANC

∴△ANP∽△AMP

∴AN:PN=AP：AP=1

∴AN=PN

追问

非常谢谢你。但是AB:AC=BM:CN=AN:AM不对啊。三角形APN和三角形AMP不可能相似。如果角APN=角PAN,AN就与PM平行。如果角NAP=角MAP,那么AP就是角平分线。P就是重心，那么CN也是角平分线。

Answer 2

马克一下先

追问

非常谢谢你 但是三角形APN和三角形AMP不可能相似

追答

利用正弦定理证明∠APM=50°（当然别的方法也行），然后推得到AC=CP

最后根据MP/BP * BN/NA * AC/CM =1，从而有PM=AN

追问

如果∠APM=50°，那么角PAM=80度，角PAN=30度。三角形APN和三角形AMP不可能相似

追答

确实不相似啊……这个证明和这两个三角形是否相似也没有关系……

追问

如何利用正弦定理证明∠APM=50°，这个很关键。谢谢。

追答

注意在△APB 和△APC中，AP均对应一个20°的角，所以外切圆直径相等

那么AB 和 AC 对应的角分别是∠APB 和 ∠APC
同时在△ABC中， AB 和AC 对应的角分别是 30°和 40°
利用等比例关系可以构造方程
最后计算得到∠APM的正切值，反正切得到是50°