Question

一道线性代数问题，谢谢

(a) 找出 det(A) 的值。(b) 求 A−1(c) 将 A 表示为 4 × 4 基本矩阵的乘积。请写下详细的计算过程。谢谢

Answer 1

(a)det(A)=
1 0 2 1
2 1 2 2
3 2 1 3

1 1 2 2,

把第一列的-2，-1倍分别加到第三、四列后按第一行展开得
1 -2 0
2 -5 0
1 0 1，
按第三列展开得
1 -2
2 -5
=-5+4=-1.
(b)
1 0 2 1 1 0 0 0
2 1 2 2 0 1 0 0
3 2 1 3 0 0 1 0
1 1 2 2 0 0 0 1
对A,E施行同样的初等变换，当A变为E时E就变为A^(-1):
把A的第一列的-2，-1倍分别加到第三、四列:
1 0 0 0 1 0 -2 -1
2 1 -2 0 0 1 0 0
3 2 -5 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1,
把A的第一、二列分别减去第四列，得
1 0 0 0 2 1 -2 -1
2 1 -2 0 0 1 0 0
3 2 -5 0 0 0 1 0
0 0 0 1 -1 -1 0 1，
把A的第二列的-2,2倍分别加到第一、三列，得
1 0 0 0 0 1 0 -1
0 1 0 0 -2 1 2 0
-1 2 -1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 -1 -2 1
把A的第三列乘以-1，得
1 0 0 0 0 1 0 -1
0 1 0 0 -2 1 - 2 0
-1 2 1 0 0 0 -1 0
0 0 0 1 1 -1 2 1，
把A的第三列的1，-2倍分别加到第一、二列，得
1 0 0 0 0 1 0 -1
0 1 0 0 -4 5 -2 0
0 0 1 0 -1 2 -1 0
0 0 0 1 3 -5 2 1.
(c)?

Answer 2

要回答这类问题，首先看给定条件的最高阶形式，这里是A²，A²前面的系数是1，因此通常可以设置为（A-2E）（A+mE）=nE，也就是A²+（m-2）A=（2m+n）E是通过待定系数m-2=-32m+n=3的方法知道的，所以m=-1n=5，所以有（A-2E）（AE）=5E，也就是（A-2E）ˆ（-1）=1/5（AE）