证明A是正定矩阵,那么A的逆也是正定矩阵,高手解一下步骤,谢谢
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首先,证明矩阵A的逆是对称阵:
因为矩阵A是正定的,所以矩阵A对称,即A^T=A;
又由于(A⁻¹)^T=(A^T)⁻¹;
所以(A⁻¹)^T=A⁻¹;故矩阵A逆是对称阵。
然后,证明矩阵A的逆是正定矩阵:
因为矩阵A是正定的则存在x属于R,且x不等于0,使得x^TAx>0;
对于x^TA⁻¹x=x^TA⁻¹AA⁻ ¹x=x^T(A⁻¹)^T AA⁻¹ x=(A⁻¹x)^TA(A⁻¹x),且A⁻¹x不等于0;
故(A⁻¹x)^TA(A⁻¹x)>0,所以x^T A⁻¹ x>0,则A⁻¹是正定矩阵。
扩展资料:
正定矩阵有以下性质:
1、正定矩阵的行列式恒为正;
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
3、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵;
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
参考资料来源:百度百科-正定矩阵
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