Question

如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E、D,BE交CD于点O。

（1）求证△OBC为等腰三角形。
(2）连接AO，试判断直线AO与BC的位置关系。

Answer 1

如图，∵BE⊥AC CD⊥AB 

∴∠ADC=∠AEB=90°，

又∵∠A=∠A，AB=AC，

∴∠DAC≌△EAB，

∴∠ABE=∠ACD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，且点A在BC的中垂线上，

∴∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

∴点O在BC的中垂线上，

∴AO垂直平分BC

第2问也可以如下解答：
解：
因为三角形ABC中,AB=AC，BE垂直于AC,CD垂直于AB，BE与CD相交于点O

所以O是三角形ABC的两条高的交点
因为三角形的三条高是交于一点的
所以直线AO一定是第三条高所在的直线
所以直线AO一定与BC垂直
又因为等腰三角形的底边上的高与底边上的中线重合（三线合一）
所以直线AO垂直平分BC

Answer 2

(1)证明：因为AB=AC
所以角DBC=角ECB
因为BE垂直AC
所以角BEC=90度
因为CD垂直AB
所以角BDC=90度
所以角BDC=角BEC=90度
因为BC=BC
所以三角形BDC和三角形BEC全等（AAS)
所以角OCB=角OBC
所以OB=OC
所以三角形OBC为等腰三角形
（2）直线AO垂直平分BC
证明：因为角DBC=角ABE+角OBC
角ECB=角ACD+角OCB
角DBC=角ECB（已证）
角OBC=角OCB（已证）
所以角ABE=角ACD
因为OB=OC（已证）
AB=AC
所以三角形AOB和三角形AOC全等（SAS)
所以角OAB=角OAC
三角形ABC是等腰三角形
所以直线AO是等腰三角形ABC的角平分线
所以直线AO是等腰三角形ABC的垂直平分线
所以直线AO垂直平分BC

Answer 3

1、∵BE⊥AC,CD⊥AB
∴∠BDC=∠CEB=90°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
即∠DBC=∠ECB
∵BC=BC
∴△BCD≌△BCE(AAS)
∴∠BCD=∠CBE
即∠BCO=∠CBO
∴△OBC是等腰三角形
2、∵∠ABC=∠ACB
∠BCD=∠CBE
∴∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠BCD
即∠ABE=∠ACD
∴∠ABO=∠ACO
∵△OBC是等腰三角形
∴OB=OC
∵AC=AB
∴△AOB≌△AOC
∴∠BAO=∠CAO
即AO是等腰三角形ABC的顶角平分线
∴AO⊥BC(等腰三角形顶角平分线，底边上的高、中线三线合一）

Answer 4

三角形ABE全等ADC好证明所以∠ABE＝∠ACD又因为等腰AB＝AC所以∠ABC=∠ACB所以∠OBC=∠OCB所以OB=OC