Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB垂直侧面BB1C1C,已知BC=1,角BCC1=pai/3

求证C1B垂直面ABC2.使在棱CC1（不包含端点C,C1）上确定一点E的位置，似的EA垂直EB1

Answer 1

Ⅰ）
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1，∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
（Ⅱ）
取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
（Ⅲ）
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
即A1B1,AE分别在两个半平面内，均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
二面角A-EB1-A1的平面角的大小
∵AB=√ 2，EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2

Answer 2

1、 A1M⊥平面ABC，BC∈平面ABC，A1M⊥BC，M是BC的中点，△ABC是等腰直角三角形，AM⊥BC，AM∩A1M=M，∴BC⊥平面AA1M√
2、 作MN⊥AB，垂足N，连结A1N，根据三垂线定理，A1N⊥AB，<A1NM是二面角A1-AB-C的平面角，AC=AB=a,BC=√2a,AM=BC/2=√2a/2, MN=√2/2*(√2a/2)=a/2,A1M是棱柱的高，也是三棱锥C-A1B1C1的高，S△A1B1C1=A1C1*A1B1/2=a*a/2=a^2/2,V三棱锥C-A1B1C1= a^3√3/12=S△A1B1C1*A1M/3,A1M=√3/2,tan<MNA1=A1M/MN=√3, <MNA1=60°，侧面ABB1A1与底面ABC所成锐二面角的大小为 60度。