Question

求幂级数的和函数问题！急求解答！

求幂级数

的和函数，需要详细过程，谢谢！！

Answer 1

令f=∑ (-1)^(n+1)n^2x^n
那么有，
f/x=∑ (-1)^(n+1)n^2x^(n-1)
同积分
∫(0,x) f(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ (-1)^(n+1)n^2t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*t^(n-1) dt
=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
再令g=∑ n*(-1)^(n+1) * x^n
那么有，
g/x=∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1)
同积分
∫(0,x) g(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ ∫(0,x) n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*x^(n-1) dt
=∑ (-1)^(n+1) * x^n
=x-x^2+x^3-……
=x/(1+x)
于是，
g(x)/x=[x/(x+1)]'=1/(x+1)^2
g(x)=x/(1+x)^2
f(x)/x=[x/(1+x)^2]'=(1+2x-x^2) / (1+x)^4
f(x)=(x+2x^2-x^3)/(1+x)^4

有不懂欢迎追问

追问

这个...谢谢你都帮我回答两个问题了，非常感谢，但是这次你的结果和答案上的不太一样...是不是过程哪里有纰漏？还是很感谢！答案上写是f(x)=x(1-x)/(1+x)^3，但是没有过程我就想知道是怎么做的...

追答

令f=∑(1,∞) (-1)^(n+1)n^2x^n=x-4x^2+9x^3-……
那么有，
f/x=∑(1,∞) (-1)^(n+1)n^2x^(n-1)=1-4x+9x^2-……
同积分
∫(0,x) f(t)/t dt
=∫(0,x) ∑(1,∞) (-1)^(n+1)n^2t^(n-1) dt
=∑(1,∞) n*(-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*t^(n-1) dt
=∑(1,∞) n*(-1)^(n+1) * x^n
=x-2x^2+3x^3-……
再令g=∑(1,∞) n*(-1)^(n+1) * x^n=x-2x^2+3x^3-……
那么有，
g/x=∑(1,∞) n*(-1)^(n+1) * x^(n-1)=1-2x+3x^2-……
同积分
∫(0,x) g(t)/t dt
=∫(0,x) ∑ n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑(1,∞) ∫(0,x) n*(-1)^(n+1) * x^(n-1) dt
=∑(1,∞) (-1)^(n+1) * ∫(0,x) n*x^(n-1) dt
=∑(1,∞) (-1)^(n+1) * x^n
=x-x^2+x^3-……
=x/(1+x)
于是，
g(x)/x=[x/(x+1)]'=1/(x+1)^2
g(x)=x/(1+x)^2
f(x)/x=[x/(1+x)^2]'=[(1+x)^2-2x(1+x)] / (1+x)^4=(1+x-2x)/(1+x)^3=(1-x)/(1+x)^3
f(x)=(x-x^2)/(1+x)^3

有不懂欢迎追问

Answer 2

注意

n^2 = (n+2)(n+1) - 3(n+1) + 1，
则
∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n^2)(x^n)
= ∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n+2)(n+1)x^n
- 3∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)](n+1)x^n
+ ∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)]x^n
= f(x) - 3g(x) + h(x)，|x|<1，
对f(x)积分二次，利用已知级数
∑(n=1~∞)[(-1)^(n+1)]x^(n-1) = 1/(1+x)，|x|<1，
就可求和，再求导二次；同样，对g(x)积分一次，也可求和，再求导；而h(x)可直接求和，……，留给你了。