Question

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx，且l与圆C相交于P,Q两点,点M(0,b)，且MP⊥MQ.当1<b<3/2时，求k的取值范围
求过程

Answer 1

圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0，即:(x-1)^2+(y-1)^2=1，圆心位于（1，1）
将直线l:y=kx代入得：
(k^2+1)x^2-2(k+1)x+1=0
有两个根，要求△=4(k+1)^2-4(k^2+1)=8k>0
x1+x2=2(k+1)/(k^2+1)………………①
x1*x2=1/(k^2+1)……………………②

MP⊥MQ可知：PQ^2=MP^2+MQ^2

(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=x1^2+(kx1-b)^2+x2^2+(kx2-b)^2
x1^2-2x1x2+x2^2+k^2(x1^2-2x1x2+x2^2)
=x1^2+k^2x1^2-2kbx1+b^2+x2^2+k^2x2^2-2kbx2+b^2

化简得：(k^2+1)x1x2=kb(x1+x2)-b^2；将①②代入
(k^2+1)/(k^2+1)=kb*2(k+1)/(k^2+1))-b^2，
(k^2+1)=kb*2(k+1)-b^2*(k^2+1)

化简得：
f(b)=(k^2+1)b^2-(2k^2+k)b+(k^2+1)=0
关于b的方程在1<b<3/2时有解
则要求:
△=b^2-4(b-1)^2*(b^2+1)>=0
f(1)*f(3/2)<0；（1根）
或f(1)>0,f(3/2)>0,且对称轴1<(2k^2+k)/2(k^2+1)<3/2

解以上不等式

……（略）