Question

正定二次型是什么？

Answer 1

正定二次型：若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

判定方法：

1，行列式法

对于给定的二次型  ，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2，正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于  来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于  来判定二次型的正定性。

扩展资料：

性质

（1） n 阶实对称矩阵 A正定<=>A的正惯性指数等于 n<=>A与单位矩阵合同<=>A的顺序主子式大于零<=>A的特征值大于零=>A的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）

（2）若  阶实对称矩阵  和  正定，  为实数，则

①  （逆）、  （伴随矩阵）、  均正定；

②  正定   ；

③  正定  

参考资料：百度百科---正定二次型