Question

关于均值不等式定值问题

如图(图中x属于{x|x不等于0}):y=x^3+1/x^2 and y=X^2+1/X (x在正实数范围内)为什么不能用均值不等式，为什么没有定值就用不了均值不等式，而且两个都是y>=x^1/2,最值为何不同?那么应该如何求?

Answer 1

当运用均值不等式，最后的结果却包含变量时，随着变量的改变结果也会改变,例如
（设原式x>0）
y=x^3+1/x^2>=2x^1/2
然后x非常接近0的时候，只能得到y也非常接近0，这是没有意义的，
那么该怎么做呢？凑出一个常数！
y=x^3+1/x^2=1/2*x^3+1/2*x^3+1/(3x^2)+1/(3x^2)+1/(3x^2)>=6*(1/108)^(1/6)
x=(2/3)^(1/5)时取到极值
y=x^2+1/x=x^2+1/(2x)+1/(2x)>=3*(1/4)^(1/3)
x=(1/2)^(1/3)时取到极值
方法就是把x的系数消掉，然后就只留下了常数。

追问

请问虽然消掉了x，求出y的最小值，但是x是怎么求的呢？

追答

例如y=x^2+1/x 将1/x 分成2个1/(2x)
那么x就能消掉了，
均值不等式的条件是项项相等
那么就是x^2=1/(2x)的时候取到最小值
由此就能得到x的值。

追问

明白了，感激不尽