Question

微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）

请勿回答“有理数与无理数不能一一对应”，我问的根本就不是这个！！！

Answer 1

这个说法是错误的。
前面说的都没错，一直到”所以这些区间盖住了所有
的有理数也就盖住了所有的无理数“这句话上。
这里出现了一个逻辑错误，小明要说明任意无理数被盖住
那么你需要说明的是对任意无理数b，存在一个n，使得
盖住an的那个长度为ε/2^n的区间盖住b。而不是说离b任意
近都有有理数所以b一定能被盖住。
举一个不太一样但比较好理解的例子，比如一个数列{1/n}
显然有1/n->0。现在我用区间(1/(n+1/2)，1/(n-1/2))来覆盖1/n
那么我们能说因为离0任意近都有该数列中的数，所以盖住
这整个数列的这些区间的并一定能盖住0吗？显然这是不行的。
因为不管n有多大，0都不属于任何区间(1/(n+1/2)，1/(n-1/2))。
再回到这个题本身，因为对固定n时，总有|b-an|>0，
这是个定值，而此时如果ε/2^n<|b-an|，那么长度为ε/2^n的那个
区间是盖不住b的，那么此时小明还需要找离b更近的有理数am，
但此时小明同样排除不了ε/2^m<|b-am|的可能性，所以小明这样
永远无法说明b一定能被某个盖住an的区间盖住。
当然这仅在ε很小的时候，小明说明不了能盖住所有的无理数
但若ε很大，比如ε=4，那么在以a1为中点，长度为4/2=2的区间
就已经盖住了整个(0,1)区间了，显然也盖住了里面所有的无理数。

Answer 2

如果你是学数学分析的，那么有一道习题是：证明，无理数比有理数多。
所以，无理数是比有理数多的。
也就是存在足够小区间，使得无理数的周围足够小区间内，没有有理数存在。

追问

任意一个无理数，不是可以被一个由有理数构成的序列无限地逼近么？（考虑它的十进制展开。）那么就不会有你说的这足够小区间。

Answer 3

错误，误以为有理数和无理数一一对应，事实上无理数是不可数的

追问

这问题中并没有要建立数与数之间的一一对应。

追答

你没有理解一一对应与势含义。
不要以为1个对1个才叫一一对应，1对任何可数个也可以是一一对应

Answer 4

谁告诉你有理数比无理数多的……
难道不是无理数的势＞有理数的势么……

追问

请问我有说“有理数比无理数多”么。。。

追答

∵无理数的势＞有理数的势

∴无理数和有理数不能一一对应

http://tieba.baidu.com/p/625384503
13楼详细说明