Question

函数f（x）在定义域R上不是常数函数且f（x）满足条件对任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x）f（1+x）=－f（x）

函数f（x）在定义域R上不是常数函数且f（x）满足条件对任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x）f（1+x）=－f（x）则f（x）是偶函数但非奇函数 为什么？ 解题过程是什么？

Answer 1

解：∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x）
f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），
f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x）
又f(2+x)=f(2-x)
∴f（x）=f（-x）
故f（x）为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常数函数
∴函数f（x）为偶函数不是常数函数

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追问

f［1+（1+x）］怎么算

追答

f［1+（1+x）］怎么算？

运用：f（1+x）=-f（x），（1+x）相当于f（1+x）=-f（x）的x，于是f[1+（1+x）]=-f（1+x）。

也可以这样解释：令1+x=y，f[1+（1+x）]=f[1+y]=-f（y）=-f（1+x）。