导数和零点问题,分类讨论时,如何判断有多少零点?

匿名用户
2013-07-14
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因为f′(1)=-1,所以曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l为y=-x+2.
若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程1/2m(x-1)^2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根.
显然x=1是该方程的一个根.
令g(x)=1/2m(x-1)^2-x+1+lnx,则g′(x)=m(x-1)-1+1/x=m(x-1)(x-1/m)/x.
当m=1时,有g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意.
当m>1时,令g′(x)=0,得x1=1,x2=1/m,则x2∈(0,1),易得g(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值.
所以g(x2)>g(x1)=0,又当x→0时,g(x)→-∞,所以函数g(x)在(0,1/m)内也有一个解,即当m>1时,不合题意.
综上,存在实数m,当m=1时,曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与C有且只有一个公共点
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m 在o到1???
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