Question

高中数学：抛物线y^2=2px(p>0) 的顶点作互相垂直的两条弦OA，OB则弦

则线段AB的中点轨迹方程为？？？（用我看得懂的方法）谢谢！！！

Answer 1

设一条直线y=kx，另条直线y=-x/k
将直线方程与抛物线方程联立接触交点分别为
（2p/k^2,2p/k） (2pk^2,-2pk)
中点为（p（k^2+1/k^2）,p(1/k-k)）
即y=p（k^2+1/k^2）
x=p(1/k-k)
x^2=p^2(k^2+1/k^2-2) 把y带入消掉k
得 y^2=p(x-2p)

Answer 2

设 A（x1,y1) ,B(x2,y2)
OA垂直于OB所以x1x2+y1y2=0
而 y1^2=2px1
y2^2=2px2
所以(y1y2)^2=4p^2x1x2
所以 x1x2=4p^2,y1y2=-4p^2
设AB中点为P(x,y)
则有x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
(y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1y2
(2y)^2=2p(x1+x2)+2y1y2
4y^2=2p*2x-8p^2
y^2=px-2p^2

Answer 3

A(2ptt,2pt)
B(2pqq,2pq)
OA，OB互相垂直
4ppttqq+4pptq=0
tq=-1
M(ptt+pqq,pt+pq)
x=p(tt+qq)
y=p(t+q)
(y/p)^2-2tq=x/p
(y/p)^2+2=x/p

Answer 4

简单计算一下，答案如图所示