Question

双曲函数与三角函数有联系吗？

Answer 1

三角函数和双曲函数以及对数函数 之间的关系
三角函数的双曲函数表 名称 sin cos tan cot sec csc 含义 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 名称 asin acos atan acot asec acsc 含义 反正弦 反余弦 反正切 反余切 反正割 反余割 名称 sinh cosh tanh coth sech csch 含义 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割 双曲余割 名称 asinh acosh atanh acoth asech acsch 含义 反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切 反双曲余切 反双曲正割 反双曲余割
第二反正切函数 atan2(y,x)（范围为-pi 到 pi）特别是第二，三象限时用第二反正切函数。 三角函数与双曲函数以及对数函数之间的关系 欧拉公式 eix = cosx + isinx, e-ix = cosx - isinx,
cos x =
sin x eix -e-ix eix +e -ix eix -e -ix tan x = = ix -ix . sin x = , , cos x i(e +e ) 2 2i e x +e- x e x -e- x sinh x e x -e- x sinh x = tanh x = = , , . 2 2 cosh x e x +e- x eix -e-ix eix -e-ix =i = isin x ,sinx = -isinhix, 2 2i
cosh x =
(1.1.1)正弦函数与双曲正弦函数的关系
sinh ix =
x=linspace(0,4*pi); plot(x,sin(x),x,-i*sinh(i*x),'r.') (1.1.2)双曲正弦函数与正弦函数的关系
sin ix =
ei(ix ) -e-i(ix ) e- x -e x =-i = i sinh x ,sinhx = -isinix , 2i 2
plot(x,sinh(x),x,-i*sin(i*x),'r.') (1.2.1)余弦函数与双曲余弦函数的关系
eix +e-ix cosh ix = = cos x , 2
plot(x,cos(x),x,cosh(i*x),'r.') (1.2.2)双曲余弦函数与余弦函数的关系
cos ix =
ei(ix ) +e-i(ix ) e- x +e x = = cosh x ,. 2 2
plot(x,cosh(x),x,cos(i*x),'r.')
1
(1.3.1)正切函数与双曲正切函数的关系
tanhix =
eix -e -ix =i tan x ,tanx = -itanhix. eix +e -ix
plot(x,tan(x),x,-i*tanh(i*x),'r.') axis([0,4*pi,-10,10]) (1.3.2)双曲正切函数与正切函数的关系
ei(ix ) -e-i(ix ) e- x -e x =-i - x x = i tanh x ,tanhx = -itanix. (1.3.2) tanix = i[ei(ix ) +e-i(ix ) ] e +e
plot(x,tanh(x),x,-i*tan(i*x),'r.') (2.1.1)反正弦函数与反双曲正弦函数的关系 y = arcsinx, x = siny = -isinhiy, iy = arcsinhix, y = -iarcsinhix. %x=linspace(0,2); plot(x,asin(x),x,-i*asinh(i*x),'r.') %出现复数,曲线相同 (2.1.2)反双曲正弦函数与反正弦函数的关系 y = arcsinhx, x = sinhy = -isiniy, iy = arcsinix, y = -iarcsinix. plot(x,asinh(x),x,-i*asin(i*x),'r.') (2.1.3)反双曲正弦函数与对数函数的关系
e y -e- y e2 y -1 y 2 y = y = asinhx, x = sinh y = y ,(e ) - 2xe - 1 = 0, 2 2e
①e = x +
y
x 2 +1 , y = ln( x + x 2 +1) = arcsin hx ,
( x �6�1 x 2 +1)( x + x 2 +1) x + x 2 +1
plot(x,asinh(x),x,log(x+sqrt(x.^2+1)),'r.') ②e
y
=| x �6�1 x +1 | , y = ln | x �6�1 x +1 |= ln |
2
2
|
= ln |
�6�11 x + x +1
2
|= �6�1 ln( x + x 2 +1) = �6�1 arcsin hx ,
arcsin hx = �6�1 ln | x �6�1 x 2 +1 | ,
plot(x,asinh(x),x,-log(abs(x-sqrt(x.^2+1))),'r.') plot(x,asinh(x),x,-log(x-sqrt(x.^2+1)),'r.') %出现复数,曲线相同 (2.2.1)反余弦函数与反双曲余弦函数的关系 y = arccosx, x = cosy = coshiy, iy = arccoshx, y = -iarccoshx. %出现复数,曲线相同 plot(x,acos (x),x,-i*acosh(x),'r.') (2.2.2)反双曲余弦函数与反余弦函数的关系 y = arccoshx, x = coshy = cosiy, iy = arccosx, y = -iarccosx. plot(x,acosh(x),x,-i*acos(x),'r.') (2.2.3)反双曲余弦函数与对数函数的关系
2
e y +e - y e 2 y +1 y 2 y = y = acoshx, x = cosh y = y ,(e ) - 2xe + 1 = 0, 2 2e
①e = x +
y
x 2 -1 , y = ln( x + x 2 -1) = arccos hx ,(x>=1)
( x �6�1 x 2 -1)( x + x 2 -1) x + x 2 -1
plot(x,acosh(x),x,log((x+sqrt(x.^2-1))),'r.') %出现复数,曲线相同 ②e
y
= x �6�1 x -1 , y = ln( x �6�1 x -1) = ln
2
2
,
= ln
1 x + x -1
2
= �6�1 ln( x + x 2 -1) = �6�1 arccos hx (下枝)
arccos hx = �6�1 ln( x �6�1 x 2 -1) ,
plot(x,acosh(x),x,-log((x-sqrt(x.^2-1))),'r.') (2.3.1)反正切函数与反双曲正切函数的关系 y = arctanx, x = tany = -itanhiy, iy = arctanhix, y = -iarctanhix. plot(x,atan(x),x,-i*atanh(i*x),'r.') (2.3.2)反双曲正切函数与反正切函数的关系 y = arctanhx, x = tanhy = -itaniy, iy = arctanix, y = -iarctanix. plot(x,atanh(x),x,-i*atan(i*x),'r.') (2.3.3)反双曲正切函数与对数函数的关系 y = atanhx, x = tanh y =
e y -e- y e 2 y -1 2y 1 1+ x = 2 y ,xe + x = e2y - 1, y = ln . y -y e +e e +1 2 1�6�1 x
plot(x,atanh(x),x,log((1+x)./(1-x))/2,'r.') %出现复数,曲线相同
双曲函数和三角函数不同的原因 前者的平方差等于1，是因为指数函数的和、差的平方差造成的。
后者的平方和等于1，是由于三角函数定义，横纵坐标平方和造成的。
它们之间几乎没有共性，
只有个性。
这是两种类型不同的函数
后者是周期函数，而前者不是。

Answer 2

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推

Answer 3

都是函数的组成部分，使函数更加完善。它们之间没多大联系。

Answer 4

没有多大的关系

Answer 5

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