Question

已知:如图,在Rt三角形ABC中,AB=AC,角BAC=90度，点D为BC上任一点，DE垂直于AB于E，DF垂直AB于E，DF垂直AC

于F，M为BC中点，试判断三角形MEF的形状，并证明你的结论

Answer 1

△MEF必是等腰直角三角形。
证明：不失一般性令D在CM之间。
因为DE⊥AC，DF⊥AB，又∠A=90°，所以AE=AB-AF=BF
又在等腰Rt△ABC中M为BC中点，所以AM=BM，加上∠EAM=∠FBM=45°
故△EAM≌△FBM，得：EM=FM，∠EMA=∠FMB。∠EMA=∠FMB。
同理，由CE=AF，∠C=∠FAM=45°,CM=AM有△ECM≌△FAM，得：∠EMC=∠FMA。
所以，∠EMF=∠FMA+∠EMA=∠EMC+∠FMB。
又∠EMF+∠EMC+∠FMB=180°，所以，∠EMF=90°。
综合上述：△MEF必然是等腰直角三角形！！