Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0

（1）求a，b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=1/2△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=1/2△ABC的面积仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD/∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer 1

1、2a+b+1=0

     a+2b-4=0

∴a=-2

   b=3

 

2、A点的坐标是(-2,0)

     B点的坐标是(3，0)

     AB=3-(-2)=5

∵△COM的面积=1/2△ABC的面积

①∴OM=AB/2

          =2.5

∴M点的坐标是(2.5,0)

 

②在x轴上的话，只要OM=2.5

在x轴上有点(-2.5,0)，(2.5,0)

△ABC的面积=AB×CD/2         CD是AB边上的高，图上请标出

                     =5×2/2

                     =5

∵C到y轴的距离是1

  

∵△COM的面积=1/2△ABC的面积

∴|OM|=1/2×5÷1×2=5

∴在y轴上有点(0,5).(0,-5)

 说明一共有四个点

 

3、OE平分∠AOP

∴∠AOE=∠EOP=1/2∠AOP

   ∵OF⊥OE

∴∠EOP+∠POF=90

   ∠AOE+∠BOF=90

∴∠POF=∠BOF=1/2∠BOP

∵CD//AB

∴∠OPD=∠BOP=2∠BOF

∵∠AOE+∠EOD=90

    ∠AOE+∠BOF=90

∴∠EOD=∠BOF

∴∠OPD=2∠EOD

∴∠OPD/∠EOD=2

Answer 2

（1）求a，b的值；

解：∵|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0
∴2a+b+1=0
a+2b－4=0
∴a=－2
b=3

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=1/2△ABC的面积，求出点M的坐标；

解：作CQ⊥x轴于Q，则CQ=2
∵S△ABC=AB•CQ/2
AB=5
∴S△ABC=5
∴S△COM=5/2
∴OM=5/2
∴M的坐标是（5/2，0）

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=1/2△ABC的面积仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；

M（－5/2，0）
M（0，5）
M（0，－5）

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD/∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

解：当点P运动时，∠OPD/∠DOE的值不会改变
∵∠OPD=90°－∠DOP
∠DOE=90°－1/2∠AOP
∠AOP=90°+∠DOP
∴∠DOE=1/2（90°－∠DOP）
∴ ∠OPD/∠DOE=2