不定积分怎样计算?

 我来答
吉禄学阁

2023-05-22 · 吉禄学阁,来自davidee的共享
吉禄学阁
采纳数:13655 获赞数:62478

向TA提问 私信TA
展开全部

例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

 

  • 主要内容:

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识,介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤闭散拆。

 

  • 根式换元法:

设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

 

  • 根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,

 

  • 整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即:(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。

  • 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数轿枣,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数掘岩进行不定积分。

  • 不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

 

你爱我妈呀
2022-12-27 · TA获得超过8.6万个赞
知道小有建树答主
回答量:686
采纳率:100%
帮助的人:25.7万
展开全部

计算过程如下:

∫ 1/(1+sin^2x)dx

= ∫ [1/cos^2x]/(1/cos^2x+tan^2x)dx

= ∫ [sec^2x]/(sec^2x + tan^2x)dx

= ∫ 1/(1 + 2tan^2x)dtanx

= 1/√2 *∫ 1/(1 + (√2tanx)^2)d(√2tanx)

= 1/√2 * arctan(√2tanx) + C(C为常数)

扩展资料:

不定积分求法:

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。巧前换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

3、分部积分法。设函数和春毁u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu。移项得孝森清到udv=d(uv)-vdu 

两边积分,得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

不定积分公式:

1、∫adx=ax+C,a和C都是常数。

2、∫x^adx=/(a+1)+C,其中a为常数且a≠-1。

3、∫1/xdx=ln|x|+C。

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C,其中a>0且a≠1。

5、∫e^xdx=e^x+C。

6、∫cosxdx=sinx+C。

7、∫sinxdx=-cosx+C。

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C。

9、∫tanxdx=-ln|cosx|+C=ln|secx|+C。

参考资料来源:百度百科-不定积分

已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式