Question

函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5

(1)解析式。
（2）利用定义式证明f（x）在（—1，1）上是增函数。
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0

在第三问中，没有说明t-1和t是否再（-1,1）的定义域内，又怎么判断函数的单调性和奇偶性呢？

Answer 1

(1)
f（x）=(ax+b)/(x^2+1)是奇函数，f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/(x^2+1)=- (ax+b)/(x^2+1),
-ax+b=-ax-b, b=-b,
所以b=0.
又f(1/2)=2/5，所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.
∴f(x)=x/(x^2+1).
(2)
设任意-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

因为（1+x1^2）(1+x2^2)>0

x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)
=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(x2-x1)(x1x2-1)

(x2-x1)>0
(x1x2-1)<0

所以：f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
x1<x2
所以：f（x）在（—1，1）上是增函数

(3)f(0)=0,
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)<f(-t)
由已知得
-1<t-1<1
-1<-t<1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)

追问

f(x)在定义域内是奇函数，没有说明t-1和t是否再（-1,1）的定义域内，又怎么判断函数的单调性和奇偶性呢？

Answer 2

看错题目了