Question

函数f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是定义在（-1，1）上的奇函数，

函数f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5,求满足f(2t-1)+f(t-1)<0的实数t的取值范

Answer 1

(1)，因为f(x)=(ax+b)/(1+x²)是 奇函数，所以
f(0)=b=0，
又f(1/2)=(a/2+b)/[1+(1/2)²]=(2a+4b)/5=2/5，
由b=0，得： a=1，
所以函数f(x)的解析式： f(x)=x/(1+x²)。
(2)，函数f(x)的定义域为：(-1，1)，
在(-1，1)上，任取x1，x2，-1<x1<x2<1，则：
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]，
因为-1<x1<x2<1，则：x1-x2<0， 1-x1x2>0，(1+x1²)>0，(1+x2²)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
根据函数单调性的定义，-1<x1<x2<1，f(x1))<f(x2)，
所以函数f(x) 在(-1，1)上是增函数。
(3)，f(t-1)+f(2t-1)<0，
f(t-1)<-f(2t-1)=f(1-2t)， (f(x)是奇函数)
因为函数f(x) 在(-1，1)上是增函数，所以
t-1<1-2t ，且 -1<t-1<1， -1<1-2t<1，
即t<2/3，且 0<t<2 ， 0<t<1，
所以 ,综上所述，范围是：0<t<2/3。

追问

为什么要把f(2t-1)+f(t-1)<0调换成 f(t-1)<-f(2t-1)=f(1-2t) ？ 调换成f(2t-1)＜-f(t-1)=f(1-t)可以吗？

追答

可以的。

追问

谢谢了！！